Негізгі формулалар

«Математика» пәні бойынша оқу материалдары

Сабақ 1: Формулалар қысқартылған көбейту

Тақырыптар:

Квадрат қосындысының формуласы
Квадрат айырмашылығының формуласы
Қосынды мен айырмашылықтың көбейтіндісі

Сипаттама:

Қысқартылған көбейту формулаларын меңгеру арқылы өрнектерді жеңілдету және теңдеулерді шешу.

Негізгі формулалар:

Квадрат қосындысы: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Квадрат айырмашылығы: (a−b)2=a2−2ab+b2(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
Қосынды мен айырмашылықтың көбейтіндісі: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a — b) = a^2 — b^2

Мысалдар:

(x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25
(3y−4)2=9y2−24y+16(3y — 4)^2 = 9y^2 — 24y + 16
(2a+3)(2a−3)=4a2−9(2a + 3)(2a — 3) = 4a^2 — 9

Жаттығулар:

(x+6)2(x + 6)^2
(5y−2)2(5y — 2)^2
(a+b)2(a + b)^2
(7−z)2(7 — z)^2
(m−n)2(m — n)^2

Сабақ 2: Квадраттық теңдеулер және квадраттық үшбұрышты көбейткіштерге бөлу

Тақырыптар:

Квадраттық теңдеулерді шешу
Квадраттық үшбұрышты көбейткіштерге бөлу формуласы

Сипаттама:

Квадраттық теңдеулерді шешу әдістерін және квадраттық үшбұрышты көбейткіштерге бөлу формулаларын меңгеру.

Негізгі формулалар:

Квадраттық теңдеу: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 Шешу формуласы: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
Квадраттық үшбұрышты көбейткіштерге бөлу: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2) Мұнда x1x_1 және x2x_2 — теңдеудің түбірлері.

Мысалдар:

Теңдеу x2−5x+6=0x^2 — 5x + 6 = 0 шешімі: x=2 немесе x=3x = 2 \text{ немесе } x = 3 x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)
Теңдеу 2×2−8x+6=02x^2 — 8x + 6 = 0 шешімі: 2×2−8x+6=2(x−1)(x−3)2x^2 — 8x + 6 = 2(x — 1)(x — 3)

Жаттығулар:

x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0
3×2−12x+9=03x^2 — 12x + 9 = 0
x2−9=0x^2 — 9 = 0

Сабақ 3: Степендердің және түбірлердің қасиеттері

Тақырыптар:

Степендерді көбейту және бөлу ережелері
Түбірлердің негізгі қасиеттері

Сипаттама:

Степендер мен түбірлердің негізгі қасиеттерін түсіну және қолдану.

Негізгі формулалар:

Степендердің қасиеттері:
- am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
- aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
- (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}
Түбірлердің қасиеттері:
- a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
- ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
- a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Мысалдар:

23⋅24=27=1282^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128
5652=54=625\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625
(32)3=36=729(3^2)^3 = 3^6 = 729
16⋅9=144=12\sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12
254=254=52\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}

Жаттығулар:

32⋅333^2 \cdot 3^3
7572\frac{7^5}{7^2}
(43)2(4^3)^2
49⋅25\sqrt{49 \cdot 25}
819\sqrt{\frac{81}{9}}

Сабақ 4: Логарифм формулалары

Тақырыптар:

Логарифмдердің негізгі қасиеттері
Логарифмдік өрнектерді түрлендіру формулалары

Сипаттама:

Логарифмдердің негізгі қасиеттерін меңгеру және логарифмдік өрнектерді жеңілдету.

Негізгі формулалар:

Логарифмдердің қасиеттері:
- log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y
- log⁡b(xy)=log⁡bx−log⁡by\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x — \log_b y
- log⁡b(xn)=nlog⁡bx\log_b (x^n) = n \log_b x
Логарифмнің негізін өзгерту формуласы:
- log⁡ba=log⁡calog⁡cb\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}

Мысалдар:

log⁡2(8⋅4)=log⁡28+log⁡24=3+2=5\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5
log⁡3(819)=log⁡381−log⁡39=4−2=2\log_3 \left(\frac{81}{9}\right) = \log_3 81 — \log_3 9 = 4 — 2 = 2
log⁡5(253)=3log⁡525=3⋅2=6\log_5 (25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6
log⁡216=log⁡1016log⁡102≈4\log_2 16 = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 2} \approx 4

Жаттығулар:

log⁡4(16⋅8)\log_4 (16 \cdot 8)
log⁡5(12525)\log_5 \left(\frac{125}{25}\right)
log⁡3(272)\log_3 (27^2)
log⁡101000\log_10 1000
log⁡232\log_2 32

Сабақ 5: Арифметикалық прогрессия

Тақырыптар:

Арифметикалық прогрессияны анықтау
Жалпы мүше мен прогрессияның сомасын табу формулалары

Сипаттама:

Арифметикалық прогрессияның негізгі түсініктерін меңгеру, оның жалпы мүшесін және алғашқы nn мүшелерінің сомасын есептеу.

Негізгі формулалар:

Арифметикалық прогрессияның жалпы мүшесі: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n — 1)d Мұнда a1a_1 — бірінші мүше, dd — айырмашылық.
Арифметикалық прогрессияның алғашқы nn мүшелерінің сомасы: Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n — 1)d) немесе Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

Мысалдар:

a1=3a_1 = 3, d=2d = 2. 10-мүше: a10=3+9⋅2=21a_{10} = 3 + 9 \cdot 2 = 21
Прогрессия: 2,5,8,11,142, 5, 8, 11, 14. Алғашқы 5 мүше: S5=52(2+14)=40S_5 = \frac{5}{2} (2 + 14) = 40
a1=10a_1 = 10, d=5d = 5. Алғашқы 7 мүше: S7=72(20+30)=175S_7 = \frac{7}{2} (20 + 30) = 175

Жаттығулар:

a1=4a_1 = 4, d=3d = 3. 8-мүше мен алғашқы 8 мүше сомасын табыңыз.
Прогрессия: 5,9,13,17,…5, 9, 13, 17, …. 6-мүше мен алғашқы 6 мүше сомасын табыңыз.
a1=7a_1 = 7, d=−2d = -2. 5-мүше мен алғашқы 5 мүше сомасын есептеңіз.

Сабақ 6: Геометриялық прогрессия

Тақырыптар:

Геометриялық прогрессияны анықтау
Жалпы мүше мен прогрессияның сомасын табу формулалары

Сипаттама:

Геометриялық прогрессияның негізгі түсініктерін меңгеру, оның жалпы мүшесін және алғашқы nn мүшелерінің сомасын есептеу.

Негізгі формулалар:

Геометриялық прогрессияның жалпы мүшесі: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1} Мұнда a1a_1 — бірінші мүше, qq — ортақ қатынас.
Геометриялық прогрессияның алғашқы nn мүшелерінің сомасы: Sn=a1⋅1−qn1−q(q≠1)S_n = a_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \quad (q \neq 1)

Мысалдар:

a1=2a_1 = 2, q=3q = 3. 5-мүше: a5=2⋅34=162a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162
Прогрессия: 5,10,20,405, 10, 20, 40. Алғашқы 4 мүше сомасы: S4=5⋅1−241−2=75S_4 = 5 \cdot \frac{1 — 2^4}{1 — 2} = 75
a1=3a_1 = 3, q=2q = 2. Алғашқы 6 мүше сомасы: S6=3⋅1−64−1=189S_6 = 3 \cdot \frac{1 — 64}{-1} = 189

Жаттығулар:

a1=4a_1 = 4, q=2q = 2. 7-мүше мен алғашқы 7 мүше сомасын табыңыз.
Прогрессия: 3,6,12,24,…3, 6, 12, 24, …. 5-мүше мен алғашқы 5 мүше сомасын есептеңіз.
a1=5a_1 = 5, q=12q = \frac{1}{2}. 4-мүше мен алғашқы 4 мүше сомасын табыңыз.

Сабақ 7: Тригонометрия

Тақырыптар:

Негізгі тригонометриялық функциялар (синус, косинус, тангенс)
Тригонометриялық тождествалар

Сипаттама:

Тригонометрияның негіздерін, негізгі функцияларын және олардың қасиеттерін түсіну.

Негізгі формулалар:

Негізгі тригонометриялық функциялар:
- sin⁡θ=қарсы қабатгипотенуза\sin \theta = \frac{\text{қарсы қабат}}{\text{гипотенуза}}
- cos⁡θ=жақын қабатгипотенуза\cos \theta = \frac{\text{жақын қабат}}{\text{гипотенуза}}
- tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=қарсы қабатжақын қабат\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{қарсы қабат}}{\text{жақын қабат}}
Тригонометриялық тождествалар:
- sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
- 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
- 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

Мысалдар:

sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1
Тождество sin⁡260∘+cos⁡260∘=1\sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = 1: (32)2+(12)2=34+14=1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

Жаттығулар:

sin⁡45∘\sin 45^\circ
cos⁡30∘\cos 30^\circ
tan⁡60∘\tan 60^\circ
sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta үшін θ=90∘\theta = 90^\circ
1+tan⁡230∘1 + \tan^2 30^\circ

Сабақ 8: Тригонометриялық теңдеулер

Тақырыптар:

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
Тригонометриялық идентичностарды қолдану

Сипаттама:

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері және идентичностарды пайдалану.

Негізгі формулалар:

Негізгі тригонометриялық теңдеулер:
- sin⁡θ=a\sin \theta = a
- cos⁡θ=a\cos \theta = a
- tan⁡θ=a\tan \theta = a
Тригонометриялық идентичностар:
- sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta
- cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta

Мысалдар:

sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{2}: θ=30∘+360∘k немесе 150∘+360∘k,k∈Z\theta = 30^\circ + 360^\circ k \text{ немесе } 150^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
cos⁡θ=−32\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}: θ=150∘+360∘k немесе 210∘+360∘k,k∈Z\theta = 150^\circ + 360^\circ k \text{ немесе } 210^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
tan⁡θ=1\tan \theta = 1: θ=45∘+180∘k,k∈Z\theta = 45^\circ + 180^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}

Жаттығулар:

sin⁡θ=22\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡θ=0\cos \theta = 0
tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3}
sin⁡(2θ)=0\sin(2\theta) = 0
cos⁡(2θ)=1\cos(2\theta) = 1

Сабақ 9: Геометрия на плоскости (Планиметрия)

Тақырыптар:

Негізгі геометриялық фигуралар және олардың қасиеттері
Планиметриядағы теоремалар мен дәлелдемелер

Сипаттама:

Планиметриядағы негізгі фигуралардың қасиеттерін меңгеру және теоремаларды қолдану арқылы геометриялық есептерді шешу.

Негізгі формулалар:

Төртбұрыштың ауданы: S=ұзындығы×еніS = \text{ұзындығы} \times \text{ені}
Үшбұрыштың ауданы: S=12×қабаттың ұзындығы×биіктікS = \frac{1}{2} \times \text{қабаттың ұзындығы} \times \text{биіктік}
Шеңбердің ауданы: S=πr2S = \pi r^2
Пифагор теоремасы: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Мысалдар:

Теңбұрыштың ауданы, ұзындығы=10 смұзындығы = 10 \, \text{см}, биіктігі=5 смбиіктігі = 5 \, \text{см}: S=12×10×5=25 см2S = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \, \text{см}^2
Төртбұрыштың ауданы, ұзындығы=8 смұзындығы = 8 \, \text{см}, ені=5 смені = 5 \, \text{см}: S=8×5=40 см2S = 8 \times 5 = 40 \, \text{см}^2
Шеңбердің ауданы, радиус=7 смрадиус = 7 \, \text{см}: S=π×72=49π≈153.94 см2S = \pi \times 7^2 = 49\pi \approx 153.94 \, \text{см}^2
Пифагор теоремасы: катеттері 3 см және 4 см болатын үшбұрыштың гипотенузасы: c=5 смc = 5 \, \text{см}

Жаттығулар:

Үшбұрыштың ауданы, ұзындығы=12 смұзындығы = 12 \, \text{см}, биіктігі=6 смбиіктігі = 6 \, \text{см}
Шеңбердің радиусын 5 см етіп ауданы табыңыз.
Пифагор теоремасын пайдаланып, катеттері 5 см және 12 см болатын үшбұрыштың гипотенузасын табыңыз.

Сабақ 10: Геометрия в пространстве (Стереометрия)

Тақырыптар:

Негізгі үшөлшемді фигуралар және олардың қасиеттері
Объем және беткі аудан формулалары

Сипаттама:

Стереометриядағы негізгі фигуралардың қасиеттерін меңгеру және олардың көлемі мен беткі ауданын есептеу әдістері.

Негізгі формулалар:

Кубтың көлемі: V=a3V = a^3
Параллелепипедтің көлемі: V=a×b×cV = a \times b \times c
Цилиндрдің көлемі: V=πr2hV = \pi r^2 h
Кубтың беткі ауданы: S=6a2S = 6a^2
Цилиндрдің беткі ауданы: S=2πr(h+r)S = 2\pi r (h + r)

Мысалдар:

Кубтың көлемі, бұрыштыңұзындығы=4 смбұрыштың ұзындығы = 4 \, \text{см}: V=43=64 см3V = 4^3 = 64 \, \text{см}^3
Цилиндрдің беткі ауданы, радиус=3 смрадиус = 3 \, \text{см}, биіктігі=5 смбиіктігі = 5 \, \text{см}: S=2π×3×(5+3)=48π≈150.8 см2S = 2\pi \times 3 \times (5 + 3) = 48\pi \approx 150.8 \, \text{см}^2
Параллелепипедтің көлемі, a=2 смa = 2 \, \text{см}, b=3 смb = 3 \, \text{см}, c=4 смc = 4 \, \text{см}: V=2×3×4=24 см3V = 2 \times 3 \times 4 = 24 \, \text{см}^3

Жаттығулар:

Кубтың көлемі, a=5 смa = 5 \, \text{см}
Цилиндрдің көлемі, r=4 смr = 4 \, \text{см}, h=10 смh = 10 \, \text{см}
Параллелепипедтің беткі ауданы, a=3 смa = 3 \, \text{см}, b=4 смb = 4 \, \text{см}, c=5 смc = 5 \, \text{см}

Сабақ 11: Координаттар жүйесі

Тақырыптар:

Координаттар жүйесі
Екі нүкте арасындағы қашықтық
Тік сызықтың теңдеуі

Сипаттама:

Координаттар жүйесін меңгеру, нүктелер арасындағы қашықтықты табу және сызықтардың теңдеулерін құрастыру әдістері.

Негізгі формулалар:

Екі нүкте арасындағы қашықтық: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}
Тік сызықтың теңдеуі: y=kx+by = kx + b Мұнда kk — көлбеу коэффициенті, bb — y-бөлігі.

Мысалдар:

Нүктелер A(1,2)A(1, 2) және B(4,6)B(4, 6) арасындағы қашықтық: d=(4−1)2+(6−2)2=9+16=25=5d = \sqrt{(4 — 1)^2 + (6 — 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
Тік сызықтың теңдеуін табу, нүктелер C(2,3)C(2, 3) және D(5,11)D(5, 11) арқылы өтетін: k=11−35−2=83k = \frac{11 — 3}{5 — 2} = \frac{8}{3} b=3−83×2=−73b = 3 — \frac{8}{3} \times 2 = -\frac{7}{3} y=83x−73y = \frac{8}{3}x — \frac{7}{3}

Жаттығулар:

Нүктелер E(0,0)E(0, 0) және F(3,4)F(3, 4) арасындағы қашықтықты табыңыз.
Тік сызықтың теңдеуін табыңыз, нүктелер G(1,2)G(1, 2) және H(3,6)H(3, 6) арқылы өтетін.
Нүктелер I(−2,−3)I(-2, -3) және J(4,5)J(4, 5) арасындағы қашықтықты есептеңіз.

Сабақ 12: Көбейту және екі таңбалы сандардың квадраттары кестесі

Тақырыптар:

Көбейту кестесі
Екі таңбалы сандардың квадраттары кестесі

Сипаттама:

Көбейту кестесін бекіту және екі таңбалы сандардың квадраттарын тез есептеу әдістерін меңгеру.

Негізгі формулалар:

Көбейту кестесі:
- 1-ден 10-ға дейінгі сандардың көбейтінділері.
Екі таңбалы сандардың квадраттары: (10a+b)2=100a2+20ab+b2(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2

Мысалдар:

Көбейту: 7×8=567 \times 8 = 56 9×6=549 \times 6 = 54
Квадрат: 322=(30+2)2=900+120+4=102432^2 = (30 + 2)^2 = 900 + 120 + 4 = 1024 452=(40+5)2=1600+400+25=202545^2 = (40 + 5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025

Жаттығулар:

Көбейту:
- 6×76 \times 7
- 8×98 \times 9
- 5×45 \times 4
Квадраттар:
- 21221^2
- 34234^2
- 56256^2
- 78278^2

Жауаптар:

Көбейту:
- 6×7=426 \times 7 = 42
- 8×9=728 \times 9 = 72
- 5×4=205 \times 4 = 20
Квадраттар:
- 212=44121^2 = 441
- 342=115634^2 = 1156
- 562=313656^2 = 3136
- 782=608478^2 = 6084