Главные формулы

Образовательные материалы по предмету «Математика»

Урок 1: Формулы сокращенного умножения

Темы:

  • Квадрат суммы
  • Квадрат разности
  • Произведение суммы и разности

Описание:

Изучение основных формул сокращенного умножения для упрощения выражений и решения уравнений.

Формулы:

  1. Квадрат суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  2. Квадрат разности: (a−b)2=a2−2ab+b2(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
  3. Произведение суммы и разности: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a — b) = a^2 — b^2

Примеры:

  1. (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25
  2. (3y−4)2=9y2−24y+16(3y — 4)^2 = 9y^2 — 24y + 16
  3. (2a+3)(2a−3)=4a2−9(2a + 3)(2a — 3) = 4a^2 — 9

Урок 2: Квадратное уравнение и разложение квадратного трехчлена на множители

Темы:

  • Решение квадратных уравнений
  • Формула разложения квадратного трехчлена

Описание:

Методы решения квадратных уравнений и разложения квадратных трехчленов на множители.

Формулы:

  1. Квадратное уравнение: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 Решение через дискриминант: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
  2. Разложение квадратного трехчлена: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2) где x1x_1 и x2x_2 — корни уравнения.

Примеры:

  1. Решите уравнение x2−5x+6=0x^2 — 5x + 6 = 0: D=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 x=5±12⇒x=3 или x=2x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = 3 \text{ или } x = 2 x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)
  2. Разложите 2×2−8x+62x^2 — 8x + 6: 2×2−8x+6=2(x2−4x+3)=2(x−1)(x−3)2x^2 — 8x + 6 = 2(x^2 — 4x + 3) = 2(x — 1)(x — 3)

Урок 3: Свойства степеней и корней

Темы:

  • Правила возведения в степень
  • Свойства корней

Описание:

Изучение основных свойств степеней и корней, упрощение выражений с ними.

Формулы:

  1. Свойства степеней:
    • am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
    • aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
    • (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}
  2. Свойства корней:
    • a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
    • ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
    • a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Примеры:

  1. Упростите 23⋅242^3 \cdot 2^4: 23+4=27=1282^{3+4} = 2^7 = 128
  2. Упростите 5652\frac{5^6}{5^2}: 56−2=54=6255^{6-2} = 5^4 = 625
  3. Упростите (32)3(3^2)^3: 32⋅3=36=7293^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729
  4. Упростите 16⋅9\sqrt{16 \cdot 9}: 144=12\sqrt{144} = 12
  5. Упростите 254\sqrt{\frac{25}{4}}: 254=52\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}

Урок 4: Формулы с логарифмами

Темы:

  • Основные свойства логарифмов
  • Формулы преобразования логарифмических выражений

Описание:

Освоение свойств логарифмов и формул для упрощения логарифмических выражений.

Формулы:

  1. Основные свойства логарифмов:
    • log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y
    • log⁡b(xy)=log⁡bx−log⁡by\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x — \log_b y
    • log⁡b(xn)=nlog⁡bx\log_b (x^n) = n \log_b x
  2. Изменение основания логарифма:
    • log⁡ba=log⁡calog⁡cb\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}

Примеры:

  1. Упростите log⁡2(8⋅4)\log_2 (8 \cdot 4): log⁡28+log⁡24=3+2=5\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5
  2. Упростите log⁡3(819)\log_3 \left(\frac{81}{9}\right): log⁡381−log⁡39=4−2=2\log_3 81 — \log_3 9 = 4 — 2 = 2
  3. Упростите log⁡5(253)\log_5 (25^3): 3log⁡525=3⋅2=63 \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6
  4. Измените основание log⁡216\log_2 16 на основание 10: log⁡216=log⁡1016log⁡102≈1.20410.3010≈4\log_2 16 = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 2} \approx \frac{1.2041}{0.3010} \approx 4

Урок 5: Арифметическая прогрессия

Темы:

  • Определение арифметической прогрессии
  • Формулы для нахождения общего члена и суммы прогрессии

Описание:

Изучение понятий арифметической прогрессии, методов вычисления ее элементов и суммы первых nn членов.

Формулы:

  1. Общий член арифметической прогрессии: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n — 1)d где a1a_1 — первый член, dd — разность прогрессии.
  2. Сумма первых nn членов арифметической прогрессии: Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n — 1)d) или Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

Примеры:

  1. Найдите 10-й член арифметической прогрессии, если a1=3a_1 = 3, d=2d = 2: a10=3+(10−1)⋅2=3+18=21a_{10} = 3 + (10 — 1) \cdot 2 = 3 + 18 = 21
  2. Найдите сумму первых 5 членов прогрессии 2,5,8,11,142, 5, 8, 11, 14: S5=52(2+14)=52⋅16=40S_5 = \frac{5}{2} (2 + 14) = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40
  3. Найдите сумму первых 7 членов прогрессии, где a1=10a_1 = 10, d=5d = 5: S7=72(2⋅10+(7−1)⋅5)=72(20+30)=72⋅50=175S_7 = \frac{7}{2} (2 \cdot 10 + (7 — 1) \cdot 5) = \frac{7}{2} (20 + 30) = \frac{7}{2} \cdot 50 = 175

Урок 6: Геометрическая прогрессия

Темы:

  • Определение геометрической прогрессии
  • Формулы для нахождения общего члена и суммы прогрессии

Описание:

Изучение основ геометрической прогрессии, методов вычисления ее элементов и суммы первых nn членов.

Формулы:

  1. Общий член геометрической прогрессии: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1} где a1a_1 — первый член, qq — знаменатель прогрессии.
  2. Сумма первых nn членов геометрической прогрессии: Sn=a1⋅1−qn1−q(q≠1)S_n = a_1 \cdot \frac{1 — q^n}{1 — q} \quad (q \neq 1)

Примеры:

  1. Найдите 5-й член геометрической прогрессии, если a1=2a_1 = 2, q=3q = 3: a5=2⋅35−1=2⋅81=162a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
  2. Найдите сумму первых 4 членов прогрессии 5,10,20,405, 10, 20, 40: S4=5⋅1−241−2=5⋅1−16−1=5⋅15=75S_4 = 5 \cdot \frac{1 — 2^4}{1 — 2} = 5 \cdot \frac{1 — 16}{-1} = 5 \cdot 15 = 75
  3. Найдите сумму первых 6 членов прогрессии, где a1=3a_1 = 3, q=2q = 2: S6=3⋅1−261−2=3⋅1−64−1=3⋅63=189S_6 = 3 \cdot \frac{1 — 2^6}{1 — 2} = 3 \cdot \frac{1 — 64}{-1} = 3 \cdot 63 = 189

Урок 7: Тригонометрия

Темы:

  • Основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс)
  • Тригонометрические тождества

Описание:

Введение в тригонометрию, изучение основных функций и их свойств, применение тригонометрических тождеств.

Формулы:

  1. Основные тригонометрические функции:
    • sin⁡θ=противолежащий катетгипотенуза\sin \theta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
    • cos⁡θ=прилежащий катетгипотенуза\cos \theta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
    • tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=противолежащий катетприлежащий катет\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}
  2. Тригонометрические тождества:
    • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
    • 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta
    • 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

Примеры:

  1. Найдите sin⁡30∘\sin 30^\circ: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
  2. Найдите cos⁡60∘\cos 60^\circ: cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
  3. Найдите tan⁡45∘\tan 45^\circ: tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1
  4. Проверьте тождество sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 для θ=60∘\theta = 60^\circ: sin⁡260∘+cos⁡260∘=(32)2+(12)2=34+14=1\sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

Урок 8: Тригонометрические уравнения

Темы:

  • Решение простых тригонометрических уравнений
  • Применение тригонометрических идентичностей

Описание:

Методы решения тригонометрических уравнений, использование тождеств для упрощения и решения задач.

Формулы:

  1. Основные тригонометрические уравнения:
    • sin⁡θ=a\sin \theta = a
    • cos⁡θ=a\cos \theta = a
    • tan⁡θ=a\tan \theta = a
  2. Тригонометрические тождества для упрощения:
    • sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta
    • cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta

Примеры:

  1. Решите уравнение sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{2}: θ=30∘+360∘k или 150∘+360∘k,k∈Z\theta = 30^\circ + 360^\circ k \text{ или } 150^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
  2. Решите уравнение cos⁡θ=−32\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}: θ=150∘+360∘k или 210∘+360∘k,k∈Z\theta = 150^\circ + 360^\circ k \text{ или } 210^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
  3. Решите уравнение tan⁡θ=1\tan \theta = 1: θ=45∘+180∘k,k∈Z\theta = 45^\circ + 180^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}

Урок 9: Геометрия на плоскости (Планиметрия)

Темы:

  • Основные геометрические фигуры и их свойства
  • Теоремы и доказательства в планиметрии

Описание:

Изучение свойств фигур на плоскости, применение теорем для решения геометрических задач.

Формулы:

  1. Площадь треугольника: S=12⋅основание⋅высотаS = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота
  2. Площадь прямоугольника: S=длина⋅ширинаS = длина \cdot ширина
  3. Площадь круга: S=πr2S = \pi r^2
  4. Теорема Пифагора: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Примеры:

  1. Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 5 см: S=12⋅10⋅5=25 см2S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25 \, \text{см}^2
  2. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см: c2=32+42=9+16=25⇒c=5 смc^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5 \, \text{см}
  3. Найдите площадь круга с радиусом 7 см: S=π⋅72=49π≈153.94 см2S = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \approx 153.94 \, \text{см}^2

Урок 10: Геометрия в пространстве (Стереометрия)

Темы:

  • Основные трехмерные фигуры и их свойства
  • Объем и площадь поверхности тел

Описание:

Введение в стереометрию, изучение свойств объемных фигур и методов вычисления их объемов и площадей поверхностей.

Формулы:

  1. Объем куба: V=a3V = a^3
  2. Объем параллелепипеда: V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c
  3. Объем цилиндра: V=πr2hV = \pi r^2 h
  4. Площадь поверхности куба: S=6a2S = 6a^2
  5. Площадь поверхности цилиндра: S=2πr(h+r)S = 2\pi r(h + r)

Примеры:

  1. Найдите объем куба со стороной 4 см: V=43=64 см3V = 4^3 = 64 \, \text{см}^3
  2. Найдите площадь поверхности цилиндра с радиусом 3 см и высотой 5 см: S=2π⋅3(5+3)=2π⋅3⋅8=48π≈150.8 см2S = 2\pi \cdot 3 (5 + 3) = 2\pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi \approx 150.8 \, \text{см}^2
  3. Найдите объем параллелепипеда с размерами 2 см, 3 см и 4 см: V=2⋅3⋅4=24 см3V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \, \text{см}^3

Урок 11: Координаты

Темы:

  • Система координат
  • Расстояние между точками
  • Уравнения прямых

Описание:

Освоение системы координат, методов нахождения расстояния между точками и составления уравнений прямых.

Формулы:

  1. Расстояние между двумя точками (x1,y1)(x_1, y_1) и (x2,y2)(x_2, y_2): d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}
  2. Уравнение прямой в форме y=kx+by = kx + b: k=y2−y1x2−x1,b=y1−kx1k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}, \quad b = y_1 — kx_1

Примеры:

  1. Найдите расстояние между точками A(1,2)A(1, 2) и B(4,6)B(4, 6): d=(4−1)2+(6−2)2=9+16=25=5d = \sqrt{(4 — 1)^2 + (6 — 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
  2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки C(2,3)C(2, 3) и D(5,11)D(5, 11): k=11−35−2=83k = \frac{11 — 3}{5 — 2} = \frac{8}{3} b=3−83⋅2=3−163=−73b = 3 — \frac{8}{3} \cdot 2 = 3 — \frac{16}{3} = -\frac{7}{3} Уравнение:y=83x−73Уравнение: y = \frac{8}{3}x — \frac{7}{3}

Урок 12: Таблицы умножения и квадратов двухзначных чисел

Темы:

  • Таблица умножения
  • Таблица квадратов двухзначных чисел

Описание:

Закрепление знаний по таблице умножения, изучение квадратов двухзначных чисел для быстрого вычисления.

Формулы:

  1. Таблица умножения:
    • Основные произведения чисел от 1 до 10.
  2. Квадраты двухзначных чисел:
    • Метод разложения числа на десятки и единицы: (10a+b)2=100a2+20ab+b2(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2

Примеры:

  1. Умножение: 7×8=567 \times 8 = 56 9×6=549 \times 6 = 54
  2. Квадрат двухзначного числа: Найдите квадрат числа 32: 322=(30+2)2=900+120+4=102432^2 = (30 + 2)^2 = 900 + 120 + 4 = 1024 Найдите квадрат числа 45: 452=(40+5)2=1600+400+25=202545^2 = (40 + 5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025

Практические упражнения:

  1. Найдите произведения:
    • 6×76 \times 7
    • 8×98 \times 9
    • 5×45 \times 4
  2. Найдите квадраты:
    • 21221^2
    • 34234^2
    • 56256^2
    • 78278^2

Ответы:

  1. Произведения:
    • 6×7=426 \times 7 = 42
    • 8×9=728 \times 9 = 72
    • 5×4=205 \times 4 = 20
  2. Квадраты:
    • 212=44121^2 = 441
    • 342=115634^2 = 1156
    • 562=313656^2 = 3136
    • 782=608478^2 = 6084